オイラー評数の定義が二つある理由について教えてください。

オイラー評数の定義が二つある理由について教えてください。

私は材料科学の研究者なのですが、形態学に興味持っておりその関連でオイラー評数、種数、ガウス曲率の勉強をしています。その中で日本の教科書のほとんどが、オイラー評数(Chi)を、virtex(V), edge(E),face(F)の数を使って、



Chi=v-e+fで表しています。



一方、海外の教科書やネットで調べると、



Chi=v-e+f-c



と個体セル数cを付けている説明書があります。前者は２次元の公式で、後者は三次元の公式代という方がおられるのですが、正しいのでしょうか？



Chiと、ガウス曲率の積分値(Ktotal)、物体中のhundleとvoidの関係式が与えられていますが、上記どちらのChiを立体像について使うべきなのか悩んでいます。詳しい方に、ご教授願えれば幸いです。

オイラー標数 ですね。



ある物体Xに対し、そのオイラー標数をχ(X)であらわしたりします。



オイラー標数ですが、色々な定義・考え方があります。

数学の世界で一般に使われる定義を記号の意味を説明せずに

書いてしまうと



χ(X) = Σ[k=0 to dimX] (-1)^k・b_k(X)



となります。

これではあんまりなので、簡単に中身の説明を。



dimX は今考えている物体Xの次元です。２次元とか、3次元とか。

数学の世界では一般にn次元の物体を扱ったりもします。



b_k(X)ですが、Xのk次元ベッチ数と呼ばれるもので、物体Xの

k次元の位相的な特徴をあらわす数となっています。



上の式を見ると、オイラー標数は

Σ (-1)^k・{Xのk次元位相構造に関係する数字}

という形をしているのが見てとれます。

つまり、Xの次元によって式の形が異なる、という訳です。



２次元、3次元のときに書き下して見ると、



Chi_2

= (-1)^0・b_0(X) + (-1)^1・b_1(X) + (-1)^2・b_2(X)

= b_0(X) - b_1(X) + b_2(X)



Chi_3

= (-1)^0・b_0(X) + (-1)^1・b_1(X) + (-1)^2・b_2(X) + (-1)^3・b_3(X)

= b_0(X) - b_1(X) + b_2(X) - b_3(X)



がそれぞれ得られます。

ここで、Xの0次元〜3次元ベッチ数なのですが、

b_0(X) ＝ Xのvirtexの数v

b_1(X) ＝ Xのedgeの数e

b_2(X) ＝ Xのfaceの数f

b_3(X) ＝ Xのcellの数c

で計算できます。

#正確にいうとホントはベッチ数と頂点等の数はちょっと

#違っていて、交代和をとった計算結果の段階で等しくなる

#だけなのですが、数学に深く突っ込むつもりがなければ

#上記のような理解で十分です



vertex=頂点=0次元

edge=辺=1次元

face=面=2次元

cell=包体=3次元



はなんとなく納得していただけると思います。Xに含まれている

これらの個数が、Xの0次元〜3次元の位相的特徴を表している訳です。



結局、cellを入れた定義にするかしないかは、Xを何次元の物体と

かんがえているかによります。



物体Xの表面の話だけを考えよう、という立場ならば、

関係するのはsurface=２次元の話であり、



Chi_2 = v - c + f



を使うことになります。Xを中身のつまった3次元の

物体として考える、ということであれば、



Chi_3 = v - c + f - c



を使うことになりますが、この式が生きてくるのは

高次元空間に3次元の物体が埋まっている場合、ですので、

3次元空間に住んでいる我々にはあまり使いでがありません；





多分ガウス=ボンネか何かを使うというお話ですよね？

この場合、曲率Kを積分するのは、物体Xの表面全体に

わたって、ということになると思います。つまり

Xの表面の形状を問題にしている訳で、このとき

使うのはChi_2の方だとおもいますよ。